La posta di Schrödinger S1.E6
A proposito di peccati e della FaceApp della meccanica quantistica
Devo ammetterlo, ho peccato.
Varie volte e in vari modi, ovviamente.
Ma in particolare, ho peccato di omissione.
L’ho fatto alla fine della scorsa newsletter, quando non vi ho detto che in qualche modo ero finito a parlavi dell’equazione di Schrödinger, anche se senza dirlo apertamente.
E allora fatemi rimediare a questo incidente scabroso e irripetibile.
Ma prima facciamo un passo indietro, per cercare di mettere tutta questa storia dentro al suo contesto.
La domanda con cui vorrei introdurre la newsletter di oggi è la seguente: cos’è che possiamo prevedere con certezza in meccanica quantistica?
Dopotutto, il problema della previsione non è da poco. Il mondo delle particelle è il regno dell’incertezza. Ormai vi sarete anche stufatə di vedermelo scrivere. Ma alla fine è così. Nel momento in cui parliamo di sovrapposizione quantistica, rinunciamo all’idea che si possano sempre assegnare dei valori precisi alle proprietà delle particelle.
Cosa ci rimane da fare, allora, se rinunciamo a descrivere il comportamento delle particelle con certezza? Facciamo che, ogni volta che vogliamo capire cosa fa una molecola, tiriamo i dadi e vediamo che succede?
In parte è così, perché della sovrapposizione quantistica non ci libereremo a breve. E forse mai.
Ma in parte non è proprio così. Ci sono delle cose che la meccanica quantistica ci permette di calcolare con certezza assoluta. Dobbiamo solo capire quali.
Ora il mio compito è convincervi che queste “cose” non sono altro che delle probabilità.
E che la ricetta per calcolarle è proprio l’equazione di Schrödinger.
Cominciamo.
Fare le foto alle particelle
La fisica è ossessionata dal tempo. E dalle previsioni.
Non dalle previsioni del tempo (cioè, volendo, anche). Ma più in generale, dalle previsioni nel tempo.
Come vi ho detto in varie salse nelle newsletter precedenti (tipo qui e qui), la fisica classica si fonda su un approccio molto chiaro. Tu mi dai la foto di quello che stanno facendo gli oggetti ora, e io ti rimando indietro una foto di quello che faranno nel futuro. La ricetta per farlo, sono le leggi di Newton. E in particolare, la famosa F = ma.
Avete presente FaceApp? L’applicazione da cellulare che, se ti facevi una foto della faccia, ti faceva vedere come diventavi da vecchi@?
Ecco, Newton si è praticamente inventato la FaceApp della fisica classica.
Solo che al posto di una foto, dobbiamo usare le posizioni e velocità dei vari oggetti. E poi la FaceApp di Newton ci rimanda indietro nuove posizioni e velocità, semplicemente spostate avanti nel futuro. Invecchiate, appunto.
Questa cosa, in meccanica quantistica, non funziona allo stesso modo.
Come vi dicevo nella scorsa newsletter, fare una foto a una serie di particelle quantistiche è molto più complicato. Per descrivere cosa stanno facendo le particelle in un dato momento, dobbiamo fotografare tutte le varie possibilità. E ad ogni possibilità, dobbiamo assegnare una probabilità.
Una particella può trovarsi in dieci posti diversi? Ok, allora se vogliamo farle una foto accurata, dobbiamo in pratica dare dieci numeri diversi: le probabilità che abbiamo di trovarla nei vari posti.
Possiamo veramente pensarla come una foto in un cellulare. Magari in bianco e nero, per farla semplice. Ogni pixel, rappresenta una posizione e una velocità diverse. Più è scuro un pixel, più è alta la probabilità che la particella si trovi in quella data posizione e abbia quella data velocità.
In questo esempio, più possibilità ci sono, di più pixel abbiamo bisogno nella foto. Tipo, se vogliamo descrivere lo spin di un fotone, che ha solo due valori possibili, ci basta una foto a due pixel.
Nella scorsa newsletter, vi raccontavo di come il numero di pixel aumenta molto velocemente con il numero di particelle. Troppo velocemente per essere gestibile.
Oggi voglio prendere la questione da un altro punto di vista.
Non ci interessa sapere quanti pixel ci servono stavolta. Supponiamo di avere una fotocamera con abbastanza risoluzione da fare la foto che ci serve.
Quindi ora abbiamo fatto la foto alle nostre particelle. Abbiamo a disposizione la miglior descrizione possibile che ne possiamo fare. Grazie alla foto, possiamo dire con che probabilità si trovano in una certa posizione. Con che probabilità hanno una certa velocità. Con che probabilità hanno un certo spin. E così via.
La domanda successiva è: data questa foto, siamo in grado di prevedere il comportamento di queste particelle in futuro? Ma sopratutto, come?
Detta in altre parole: esiste la FaceApp della meccanica quantistica?
La risposta a questa domanda è sì ed è stata formalizzata matematicamente dal caro Erwin Schrödinger.
La FaceApp della meccanica quantistica
Ad essere più tecnici, l’equazione di Schrödinger è in qualche modo la F = ma della meccanica quantistica.
Solo che a scriverla, appare così
Come vedete, non c’è neanche una delle lettere coinvolte nella seconda legge di Newton. Sarà che Schrödinger volesse proprio mettere in chiaro che la sua fosse un’equazione diversa?
In ogni caso, l’equazione e tutte le conseguenze che ne derivano sono effettivamente diverse dalla corrispettiva legge di Newton. Però per ora cerchiamo di capirne i paralleli. E cominciamo analizzando gli elementi dell’equazione uno ad uno.
Partiamo dalla ѱ, la famosa funzione d’onda. La funzione d’onda non è altro che la foto di cui vi parlavo prima. Ovvero l’oggetto matematico che rappresenta tutta l’informazione che abbiamo a disposizione sulla nostra (o nostre) particella (particelle).
Da brava foto quantistica, la funzione d’onda ha un compito molto specifico. Per ogni proprietà fisica della particella, e per ogni possibile valore che questa proprietà può avere, la funzione d’onda ci deve dare un numero. Questo numero serve a calcolare la probabilità.
Proprio come quando facevo l’esempio della foto. Ogni possibilità era associata a un pixel. Quindi la funzione d’onda deve darci un numero per ogni pixel. Da questo numero, noi ricaviamo la probabilità che ha la particella di trovarsi in una certa posizione. O avere una certa velocità. E così via.
Se volessimo fare il parallelo con la fisica classica, ѱ è l’equivalente della posizione e della velocità per Newton. È ciò che ci permette di descrivere il comportamento degli oggetti che stiamo studiando.
Passiamo alla H, la cosiddetta hamiltoniana. Questo è l’oggetto matematico che rappresenta il modo in cui le particelle interagiscono fra loro. E che forze agiscono sulle particelle.
(Per gli esperti ed esperte fra di voi: lo so, la cosa è un tantino più complicata di così. Però spero mi perdonerete le semplificazioni, quello che mi interessa qui è fare dei paragoni qualitativi con la legge di Newton)
Mettendo tutto insieme, quello che sta a sinistra dell’uguale fa le veci della F nella seconda legge di Newton. Rappresenta tutte forze e interazioni che sono in gioco nel sistema di particelle che stiamo considerando.
Mi direte :
« Ma nella seconda legge di Newton non compaiono posizione e velocità, perché nell’equazione di Schrödinger troviamo ѱ ? »
La risposta è che in realtà, posizione e velocità nell’equazione di Newton ci sono. Sono semplicemente nascoste. Dove? Nell’espressione della F. Infatti l’intensità e il comportamento delle forze in gioco dipendono da dove si trovano gli oggetti e (a volte) anche da che velocità hanno. Prendiamo il caso di due oggetti con carica elettrica negativa. Questi oggetti si attraggono, e l’intensità della forza attrattiva è tanto più alta tanto più gli oggetti sono vicini. Quindi questa F non sarà lo stesso numero se i due oggetti sono distanti 2 cm o un metro.
Va bene, ora che abbiamo analizzato la F dell’equazione di Schrödinger, passiamo all’equivalente dell’accelerazione. Vi avevo detto che l’accelerazione non è altro che una maniera matematica per descrivere come cambiano velocità e posizione nel tempo. Ebbene, possiamo pensare quell’oggetto strano che sta alla destra dell’uguale nell’equazione di Schrödinger come l’accelerazione della funzione d’onda.
A livello matematico, si chiama derivata della funzione d’onda con rispetto al tempo. In pratica, è una nuova funzione, che per ogni pixel della foto ora, anziché darci una probabilità, ci dà un numero diverso. Questo numero, rappresenta come cambia questa probabilità nel tempo.
Mi direte :
« Ma nella seconda legge di Newton le derivate non compaiono? »
Indovinate un pò, la risposta è di nuovo: sì, sono semplicemente nascoste. L’accelerazione è, a livello matematico, la derivata della velocità rispetto al tempo. Così come la velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo.
Bene, riguardo a tutti gli altri simboli che compaiono nell’equazione, sono essenzialmente delle costanti di vario tipo. Così come la m dell’equazione di Newton è essenzialmente una costante, ovvero la massa dell’oggetto in questione.
Previsioni in meccanica quantistica
Spero di non averla fatta troppo lunga, quindi provo a riassumere il messaggio principale che volevo far passare.
Sia la seconda legge di Newton che l’equazione di Schrödinger servono allo stesso scopo: data l’informaizone sul comportamento di alcuni oggetti in in certo momento, ci permettono di prvedere il loro comportamento nel futuro. Sono le FaceApp, rispettivamente, della fisica classica e della fisica quantistica. Praticamente ci permettono di invecchiare le foto che facciamo agli oggetti.
Entrambe le equazioni (Newton e Schrödinger), funzionano secondo la stessa logica. Data l’informazione di come interagiscono gli oggetti fra di loro, e data l’informazione completa delle loro proprietà in un certo momento, ci permettono di calcolare come cambiano queste informazioni nel tempo.
La grossa differenza sta in quale sia la nozione di informazione completa. In pratica, quale sia la foto che possiamo fare.
Da un lato, la fisica classica ci permette di sapere tutto con certezza. Quindi la migliore foto che possiamo fare è quella di sapere tutte le posizioni e velocità degli oggetti. Senza un briciolo di dubbio. E questa è la foto che ci ritroveremo invecchiata grazie alla seconda legge di Newton.
Dall’altro lato, la fisica quantistica ci permette di conoscere solo probabilità. Non possiamo sapere con certezza che proprietà ha una particella, ma possiamo conoscere la probabilità associata ad ogni possibile valore. Ecco che la migliore foto consiste quindi nel conoscere tutte queste probabilità. E questa sarà anche la foto che potremo invecchiare grazie all’equazione di Schrödinger.
Potrebbe sembrare paradossale, ma la certezza e l’incertezza possono convivere. E lo fanno proprio in meccanica quantistica. Grazie all’equazione di Schrödinger, siamo in grado di prevedere con certezza quali saranno le probabilità future associate ad ogni posizione e velocità possibili. Allo stesso tempo, per il fatto che quelle che conosciamo sono solo probabilità, abbiamo l’incertezza di non sapere dove si trovi esattamente ogni particella, o che velocità abbia.
E vi assicuro che le capacità predittive dell’equazione di Schrödinger non sono da sottovalutare. Sono praticamente il motivo per cui la meccanica quantistica è un teoria di così grande successo e che ha permesso moltissime rivoluzioni tecnologiche negli ultimi cento anni.
Vabbè, mi sembra corretto concludere con la versione invecchiata trendy di Schrödinger. E che solo Newton?
E con questo passo e chiudo per questo sesto episodio della newsletter. Come sempre, spero che vi sia piaciuto e vi abbia stimolato una sana dose di curiosità. Commentate qui
o scrivetemi in privato se avete domande/commenti/qualunque cosa. Sono sempre felice di leggervi e rispondervi.
Nel frattempo, noi ci rileggiamo fra due settimane.
A presto!
Un disclaimer finale
Hai ricevuto questa email perchè qualcun@ te l’ha inoltrata?
Ti svelo un segreto: fa parte di una newsletter. Si parla di meccanica quantistica e molte delle sue applicazioni più recenti, ma non solo. Ne mando una ogni due settimane, il martedì mattina.
Se ti interessa rimanere al passo con le prossime newsletter, ecco il bottone per iscriversi
Altrimenti, amici come prima.
Puoi sempre recuperare tutti gli episodi passati e futuri sulla pagina Substack de la posta di Schrödinger.